I believe what you're seeing is a timing issue. Both thunderbirds retrieve the message. You delete from one thunderbird, but it still shows in the other because it has already been downloaded for viewing. On subsequent retrievals, the message will be removed, but it's physically on your PC at the moment.

Hallo.. danke für die schnelle Antwort, ich versuche es einigermaßen zu verstehen. Es ist unabhängig ob ich die Geräte relativ zeitgleich, zeitnah nacheinander oder mit längerem Abstand nutze. Immer beim Starten des Mail-Programmes habe ich die gleichen Mails wieder an den gleichen Stellen wieder. Soll heißen, ich starte das Mailprogramm und es aktualisiert sich selbst, wenn Updates gemeldet sind, und außerdem lädt es die vermeintlich neuen Mails herunter, ohne zu bemerken, daß auf einem anderen Gerät ebendiese Mails bereits gelesen, verschoben oder sonstiges sind. Dieses Problem/Phänomen hatte ich beim vorherigen Programm [Outlook als geschäftliche Version] nicht, was gelöscht war, war gelöscht und so weiter. Am schwierigste bzw aufwendigsten ist es ja leider mit dem Verschieben der Mails in entsprechende Ordner nach meiner Zuordnung, das dann immer mehrmals zu tun ist nicht der Sinn. Sollte ich doch etwas falsch verstanden haben [Übersetzung ist nicht meine Stärke], nehme ich Tips und Hilfen gern an.

First, I mam not a super tech, but it may be that the cache for the account is not being reset, causing thunderbird to display what is left from last use. Check in account's server settings to see if the box is ticked for 'clean up 'expunge' on exit.