Olá! Existem dois protocolos no Thunderbird, o IMAP e o POP3. Quando um programa de e-mail utiliza o protocolo IMAP as mensagens são armazenadas tanto no servidor quanto no dispositivo em que o programa de e-mail está sendo executado. A principal característica do IMAP é que ele tende a causar um maior tráfego entre o dispositivo e o servidor de e-mail, logo a performance pode ser ruim se sua conexão à internet é lenta. Esta é uma possível causa da demora em atualizar a sua caixa de e-mails enviados.

Você também pode verificar a configuração de onde são salvas as mensagens enviadas indo no menu no canto superior direito do seu Thunderbird >> Preferências >> Configurações de conta >> Cópias e pastas.