No sé cómo hacer para que las descargas se te queden en el área de notificaciones, pero una solución que quizás te valga si quieres que la descarga vaya aparte de las webs por las que navegues, es que una vez que inicies la descarga, dar al botón de descargas (la flecha hacia abajo que tienes en la parte superior derecha de la ventana del navegador) y después pulsar la opción "Mostrar todas las descargas".

Al hacerlo tu ventana de descargas quedará separada del resto del navegador. Así podrás cerrar firefox sin que la descarga se interrumpa. Y aunque no la pases al área de notificaciones siempre podrás minimizar la ventana y restaurarla cuando quieras para ver cómo va la descarga.

Cuando quieras abrir de nuevo el navegador para ir a alguna web (sin tener que cerrar la ventana de descargas) bastará con ir al menú inicio (o al menú de programas que tengas) y seleccionar firefox. O bien pulsar al botón derecho del ratón sobre el acceso directo de firefox que tengas en la barra de tareas o hacer clic derecho en un panel o dock donde tengas seleccionados los accesos directos de tus programas favoritos y selecciona la opción de "Nueva ventana" o selecciona directamente "Mozilla Firefox".

Sé que no es la solución exacta que pedías pero espero que al menos te sea útil.

Saludos, jorgecomun.

Gracias por la respuesta.