Hola, Como configuraste la cuenta como POP3 o IMAP? Si es POP3 funciona de la forma que los correos se baja al cliente de correo para este caso Thunderbird, busca en las opciones de la configuracion de la cuenta de correo en el Thunderbird la opcion de dejar copia en el servidor. Para los correos que ya fueron bajados deberías reenviarlos. Puedes usar cuenta IMAP en ese caso los correos siempre quedan el el servidor, el Thunderbird tiene que tener conexión a internet para poder ver los correos. Saludos